Aplicaciones de la derivada

Valores máximos y mínimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=wMBg9toM94Q

Rolle y valor medio

           (TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)

 Si  f  es una función continua en  [ a , b ]  y  derivable en  ( a , b ), entonces existe al menos un punto  cÎ(a,b)  en el que  f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).

Interpretación geométrica

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos  A( a , f ( a ) )  y  B( b , f ( b ) )

Actividades:

a)    Representa en tu cuaderno la gráfica  de  la  función   f ( x ) = x3 – x2 + 2   en  el  intervalo  [ -1 ,

b)    ¿Verifica la función  f ( x )  el teorema del Valor Medio del cálculo diferencial en dicho intervalo. En caso afirmativo, calcula, aproximando hasta las centésimas, el valor del punto  “c”  cuya existencia garantiza dicho teorema.

Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=q6jhJEX9lug

Concavidad y trazo de curvas

Concavidad

Derivada segunda

Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función.

Notación: f''(x).

Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.

Ecuación de la recta tangente a una función f en x=a

La ecuación de una recta que pasa por el punto (a,f(a)) es y = m(x-a) + f(a), siendo m la tangente del ángulo que forma la recta con el eje ox.

Para obtener la ecuación de la recta tangente a f en x=a, m debe ser f'(a).

Ecuación de la tangente: y = f'(a)(x-a) + f(a)

Nota: en las siguientes definiciones y teoremas, utilizaremos el concepto de entorno de a (Ea) y entorno reducido de a (E*a). Para ver las definiciones, visitar la página sobre límite finito.

Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=kfQaG9VbDdI

Concavidad y trazo de curvas 

La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas.

Asíntotas

Dada una curva con ecuación $y=f(x)$ es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito. 

Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=muQjA9utVZI