Integral
La
integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos
sumandos, infinitamente pequeños.
El
cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las
matemáticas en el proceso de integración o anti derivación. Es muy común en la
ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo
de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Aquí un vídeo : https://www.youtube.com/watch?v=wuI5MFhvgsY
El Área
El área es un concepto métrico que
permite asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en
matemáticas unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es
un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud.
Para superficies planas, el concepto
es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir,
cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma
de las áreas de los triángulos en que se descompone. Ocasionalmente se usa el
término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe
confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud
métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de
superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una
superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido
un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está
dentro de un espacio elucídelo, la superficie hereda una estructura métrica
natural inducida por la métrica euclidiana.
Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=E1uWLydHTqA
Reglas básicas de integración
Derivada de una función:
Se define como la razón de cambio de la variable
dependiente respecto a la variable independiente.
Las
derivadas de las diferentes funciones básicas son:
la derivada
de una constante,la derivada de una función idéntica,la derivada de una suma y
diferencia de dos funciones,la derivada del producto de dos funciones,la
derivada del cociente de dos funciones y la derivada de una potencia.
Derivada
de una constante:
La derivada
de una constante se define como igual a cero.
y=k
Derivada de
una función identica:
La derivada
de una funcion identica se define como igual a uno.
y=x
Derivada
de la suma y diferencia de dos funciones:
se define
como la derivada de la suma y la diferencia de la dos funciones.
Derivada
del cociente de dos funciones:
Es igual a
el denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador
multiplicado por la derivada del denominador, todo esto dividido entre el
denominador elevado al cuadrado.
Derivada
de una potencia:
Es igual al
numero que corresponde al exponente multiplicado por la función elevada al
exponente disminuido en uno.
Una de las
muchas aplicaciones de las derivadas es que la derivada geometricamente
representa la pendientes de una función.
Definición de recta tangente con pendiente m:
Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el
límite
entonces ,la recta
que pasa por (c,f(c)) y cuenta con la pendiente m es la recta tangente de f en
el punto (c,f(c)).
Ejemplo:
Calcular las pendientes de las rectas tangente a la gráfica de
f(x) = x2 + 1 en los puntos (0,1) y (-1,2) y
representarlos en una gráfica.
Solución:
Utilizando las reglas básicas de derivación tenemos que
f′(x)=d[x2]dx+d[1]dx=2xf′(x)=d[x2]dx+d[1]dx=2x
f′(x)=2xf′(x)=2x
f′(0)=2(0)=0f′(0)=2(0)=0
f′(−1)=2(−1)=−2f′(−1)=2(−1)=−2
Las gráficas de las rectas que tienen esta pendiente son:
Calculo Integral
La integración de
define como la operación inversa o contraria a la derivación,a la integración
es llamada muchas veces antiderivada.
La integración se representa por el símbolo ∫ que es un s
alargada
esta notación fue utilizada por primera vez por LEIBNITZ,otra notación que se
utilizaba era A(x) que significa antiderivada.
De manera que la integral de una función f(x) es otra función p(x).
La función que se obtiene como resultado de integral f(x) es conocida como función primitiva de f(x).
Ejemplo las funciones primitivas de f(x) = x4son:
Esta son primitiva ya
que cuando derivamos cada una de estas funciones nos da como resultado x4x4
Integral indefinida:
Como se acaba de ver cada una de las funciones anteriores tienen como derivada
f(x) = x4 , esto significa que esta tiene varias
funciones primitivas ,y esta solo difieren en una constante C.
La constante C, la cual no es una constante definida al obtener la primitiva de
la función,por esta razón a estas integrales se le conoce como indefinidas.
Esta son
primitiva ya que cuando derivamos cada una de estas funciones nos da como
resultado x4x4
Integral indefinida:
Como se acaba de ver cada una de las funciones anteriores tienen como derivada
f(x) = x4 , esto significa que esta tiene varias
funciones primitivas ,y esta solo difieren en una constante C.
La constante C, la cual no es una constante definida al obtener la primitiva de
la función,por esta razón a estas integrales se le conoce como indefinidas.
Por tanto todas
aquellas funciones de la forma
Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Fj8SHHJIElU
Aplicación de de reglas básicas de integración.
La integración es fundamental en las
matemáticas avanzadas especializadas en los campos del cálculo. Una
integral es una ANTIDERIVADA, es decir, la operación inversa a la derivada.
Formulas básicas de integración.
Recordemos que como en las derivadas, las
integrales poseen reglas, propiedades y formulas para su procedimiento. Las
integrales poseen un signo en su inicio en forma de S alargada y con una
terminación de dx, esto las diferencia de otras ecuaciones. Una
integral a realizar siempre ira acompañada de una S alargada al inicio y un dx
al final. Estas son
las formulas básicas de integración.
La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo
La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.
La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos necesariamente para usar la formula ;) Ejemplo.
La integral de un Binomio
(V) es parecida a la formula 3, solo que acá al sacar la derivada del binomio
(dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en caso que no exista, se
iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo el binomio (V) mas la
exponenciación + 1.
Se saca el binomio que es (2+X2)
La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.
Ya que se elimino el producto de afuera, se procede con la formula 3, y el ½ estará multiplicando al resultado que quede de la formula.
El 2 que esta en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar medios con medios, extremos con extremos.
En realidad se ven muchos pasos en este
último problema, pero al realizarlo apenas alcanza unas 6 líneas de cuaderno. No
son todas las formulas, hay mas formulas que son las de exponenciación y las
formulas trigonométricas. También existen identidades trigonométricas y métodos
(casos) que hacen
de los problemas complicadísimos mas fáciles de entender y solucionar, pero eso
lo explicare más adelante.
Dudas, aclaraciones, mentadas de máuser por acá abajo,
sí, en los comentarios.
Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=adygWYVHPtc
La integral definida
Desde su
origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los
métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La
técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,
paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y
en el cálculo diferencial.
La
integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las
áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para
cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que
0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al
área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje
horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La
integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se
denota como:
Propiedades de la integral definida
La
integral definida cumple las siguientes propiedades:
·
Toda
integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
·
Cuando la
función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es
menor que cero, su integral es negativa.
·
La integral
de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por
separado.
·
La integral
del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la
integral).
·
Al permutar
los límites de una integral, ésta cambia de signo.
·
Dados tres
puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a
trozos):
·
Para todo
punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales
que f (x) g (x), se verifica que:
Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=rr2Mm9RxNxU
Propiedades de la integral definida
Se enuncian algunas propiedades y teoremas
básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más
facilidad.
1)
donde
c es una constante
donde
c es una constante
2) Si f
y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes
propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos
funciones)
3) Si x
está definida para x = a entonces 0
4) Si f
es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es
integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c.
Área de registro entre dos curvas
Si f y g son dos
funciones continuas en [a, b] y g(x) f(x) x [a, b], entonces el área de la región
limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x a
y x b es
Demostración:
Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno de ancho x
y dibujamos un rectángulo representativo de alto f(xi) g(xi)
donde x está en el i-ésimo intervalo.
Área del rectángulo i [f(xi) g(xi)] x
Sumando las áreas y considerando que el
número de rectángulos tiende a infinito resulta que el área total es
lim n-
Como f y g son continuas en el intervalo, la
función diferencia f g también los es y el límite existe.
Por lo tanto el área
es área
Es importante darse cuenta que la validez de
la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x) f(x).
Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del
eje x.
Integral respecto al eje Y
Si algunas regiones
están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se pueden trabajar
mejor considerando x como función de y los rectángulos representativos para la
aproximación se consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera,
si una región está limitada por las curvas de ecuaciones x f(y),
x g(y), y c
y la recta horizontal y d, donde f y g son continuas y f(y) g(y)
para c y d, entonces su área
Teorema fundamental del calculo
El Teorema Fundamental
del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas,
sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.
Conceptualmente, dicho
teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que
ambos procesos son mutuamente inversos
Teorema fundamental del cálculo:
Sea f una función
integrable en el intervalo [a, b], entonces:
i) F es continua en [a,
b]
ii) En todo punto c de
[a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto,
y F'(c) = f(c).
El Teorema Fundamental
del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por
la gráfica de una función continua f(x).
A cada punto c en [a, b]
se le hace corresponder el área Tc.
Si calculamos la
derivada de esa función:
Luego F'(c) = f(c), para
todo c en [a, b]
Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente
diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención
de la tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad),
mientras que la integracióncorresponde
a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema
Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el uno del otro.
Regla
de Barrow.
Sea f(x) una
función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función
primitiva de f(x) en [a, b], es decir:
F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:
La importancia de la
regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite calcular
integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y
luego calcularla en los límites de integración y por otro representa una
conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.
Generalización.
Regla de la cadena:
Sea f(x) una
función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función
primitiva de f(x) en [a, b],
sea g(x) una función
diferenciable, entonces:
Visualización
interactiva del proceso de integración.
Se muestra a continuación un applet que permite
visualizar, interactivamente, el proceso de integración Riemann.
Técnicas
de Integración.
A continuación se
indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las
integrales de una clase muy amplia de funciones.
Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una integral más sencilla.
Integración por cambio de variable.
Nos proporciona un
proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una
derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que
deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x
= g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Para que la fórmula de
cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el
integrando a una función u y a u' (su derivada).
Integración por partes.
Este método nos
permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un
producto de una función por la derivada de otra.
Sean u y v dos funciones continuas, derivables y
sus derivadas du y dv son integrables, entonces:
u=f(x),
v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:
Integración de funciones racionales:
Vamos a integrar
funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:
a) Si
el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).
En este caso se divide
P(x) entre Q(x), pasando la integral a:
Se reduce a calcular la
integral de un polinomio c(x) y la integral de una función racional en la cual
el numerador tiene grado menor que el denominador (está última integral es la
que nos queda por calcular).
A continuación
describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las
que el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una
suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.
Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
Identidades trigonométricas fundamentales
Las identidades trigonométricas
fundamentales
Las identidades
de la Trigonometría son
ecuaciones que contienen funciones trigonométricas y que son equivalentes para todos y
cada uno de los valores de las variables involucradas. Las identidades trigonométricasson
la base de los ejercicios de Trigonometría que
podemos llevar a cabo.
¿Cuáles son
las identidades trigonométricas?
Las identidades trigonométricas hacen referencia a
todas las variables posibles de ángulos que
pueden aparecer en una figura geométrica. ¿Por qué son fundamentales en matemáticas? Porque sirven de base para la demostración de otras entidades más
complejas. Las identidades en la trigonometría se utilizan para simplificar
expresiones trigonométricas; es decir, nos sirven para mostrar que cada
vez que se cumple la primera expresión, se va a cumplir la segunda.
Podemos dividir las identidades trigonométricas en tres
categorías diferentes: pitagóricas, cocientes y recíprocas. Estas
son las abreviaturas que utilizaremos:
o sen= seno
o cos= coseno
o tan= tangent
o sec= secante
o csc= cosecante
o cotg=cotangente
Las identidades
pitagóricas son
producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las
razones en Trigonometría:
o cos2 α + sen2 α = 1
o sec2 α 1 + tan2 α
o csc2 α = 1 + cotg2 α
Las identidades recíprocas se
obtienen al llevar a cabo el producto entre dos razones recíprocas, por ejemplo
seno y cosecante:
o sen α= 1csc α
o cos α=
1/sec α
o tan α= 1/ cotg α
o csc α=
1/sen α
o sec α=
1/cos α
o cotg α=
1/tan α
Las identidades cocientes se
llaman así pues cada una de ellas representa la división o cociente entre otras
dos razones trigonométricas:
o tan u= sen u/ cos u
cotg u= sen u/
cos u
Aquí un vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=9lrw4qkglA4
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