Reglas de derivación

Función constante

Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂).

Aquí un vídeo: https://youtu.be/QhC4UfHolMk

Reglas de la Potencia

Aquí un vídeo: https://youtu.be/Eyd8Iky036A

Multiplo constante

Aquí un vídeo de las reglas: https://youtu.be/hvC6VUMaLcM

Seno y coseno

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función.

Ejemplos

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.

Ejemplo:

Aquí un vídeo: https://youtu.be/TkZo2BnVKmI

Razón de cambio

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. 

En general, en una relación funcional 

y=f(x)

$y=f(x)$, la razón de cambio de la variable dependiente 

y

$y$ respecto a la independiente x

$x$ se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t

$[f(x+t)-f(x)]/t$, denominada cociente diferencial.

Ejemplo

En la función lineal 

f(x)=mx+b

$f(x)=mx+b$, no es necesario tomar el límite pues  f(x+t)−f(x)=mx+mt+b−mx−b=mt

$f(x+t)-f(x)=mx+mt+b-mx-b=mt$ y la t se cancela en la razón [f(x+t)−f(x)]/t

$[f(x+t)-f(x)]/t$ sin necesidad de pasar al límite.

Aquí un vídeo: https://youtu.be/Mzq_0WGBtSo

Reglas de producto

Las  reglas  de  la  diferenciación  y  las  derivadas  de   las  funciones  surgen  en  última  instancia  de la definicion  de  la  derivada  la  regla de  la  suma (2)  que  se  obtuvo  en  la  sección  pendiente, se  concluye  en  la  definicion  y  del  hecho  de  que  el  límite  de  una  suma  una  suma  de  los  limites   siempre  y  cuando  los  limites  existen, el  ultimo  de  un  producto  de  los  limites   al  razonar  por  analogía  parecería  pausible  que  la  derivada  de  un  producto  de  dos  funciones  es  el  producto de  la derivada. Lamentablemente  la  regla  del  producto  de  dos  funciones  es  el producto   que s e  presenta a  continuación no  es  tan  simple.

Si  f y  g  son  funciones  diferenciables  en x,  entonces f g  es  diferenciable  en x , y

Ejemplo

Diferencie   y = (x³ – 2x² +3)(7x³ – 4x).

Solución Regla de Producto.

Dy/dx = (x³ -2x + 3 ) d/dx(7x² –  4x) + (7x² –  4x). d/dx(x³ – 2x²  +3)

= (x³ – 2x² +3) (14x –  4 )+ (7x²- 4x)(3x² – 4x)

= 35x⁴ – 72x³ + 24x²  +  42×-12

Aquí un vídeo: https://youtu.be/zGX-7wZC1Pc

Reglas de cociente

Si  f  y  g  son  funciones diferenciables  e  x  y  g (x) = 0, entonces f/g  es  diferenciable  en x, y

d/dx [f(x)/g(x)]=  g(x)f’(x)-  f(x)g’(x)/[g(x)]²

^Ejemplo

Diferencie  y  = 3x²  -1

2x³ + 5x²+7

Solución  para  la  regla de  cociente (4),

Dy/dx= (2x³ + 5x² + 7). D/dx (3x² - 1) – (3x² – 1).d/dx (2x³ + 5x² + 7)

(2x³ + 5x² + 7)²

= (2x³ + 5x² + 7).  6x – (3x² – 1). (6x² + 10x)

(2x³  + 5x² +7)²

= -6x⁴ + 6x + 52x

(2x³ + 5x² +7)²

^{Aquí un vídeo:} https://youtu.be/CZ6CBlsKif8

Derivadas de las funciones trigonométricas

Vamos a empezar por dar la derivada de 

f(x) = sen x, 

 y después utilizarla para obtener las derivadas de las otras cinco funciones trigonométricas.

Derivada de  sen x La derivada de la función seno se da por d dx  sen x = cos x.

Ejemplo
y = xsen x
 Una aplicación de la experimento mental de cálculo (EMC)* nos dice que 

xsen x

 es un producto;

y = (x)(sen x).

Por lo tanto, por la regla del producto,

dy dx

 = (1)(sen x) + (x)(cos x) = sen x + xcos x

Aquí un vídeo: https://youtu.be/cP1Ss34Mkz8

reglas de la cadena

En esta sección analizaremos como se derivan las funciones compuestas. En las actividades los alumnos aplicaran la regla de la cadena para derivar diferentes funciones compuestas. También podrán trabajar con algunas aplicaciones de las derivadas compuestas.

Ejemplo

Aquí un vídeo: https://youtu.be/BUXAxTrxFmg

Función explicita e implícita

Una función es explícita si viene dada como   y = f(x) , es decir, la variable dependiente   y   está despejada.

Una función es implícita si viene dada de la forma   f(x, y) = 0 , es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0.

Toda función expresada en forma explícita se puede poner en forma implícita y viceversa.

Ejemplo de funciones explícitas e implícitas

1)   La función   y = 7x - 3   está expresada en forma explícita y la podemos transformar en implícita haciendo las transformaciones algebraicas adecuadas.

La función   y - 7x + 3 = 0   estaría expresada en forma implícita.

2)   La función   y + 3x² - 8x + 5 = 0   está expresada en forma implícita y si despejamos la variable   y   obtenemos la forma explícita.

Es decir,   y = - 3x² + 8x - 5   sería la forma explícita.

Una función es explícita si viene dada como   y = f(x) , es decir, la variable dependiente   y   está despejada.

Una función es implícita si viene dada de la forma   f(x, y) = 0 , es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0.

Toda función expresada en forma explícita se puede poner en forma implícita y viceversa.

Ejemplo de funciones explícitas e implícitas

1)   La función   y = 7x - 3   está expresada en forma explícita y la podemos transformar en implícita haciendo las transformaciones algebraicas adecuadas.

La función   y - 7x + 3 = 0   estaría expresada en forma implícita.

2)   La función   y + 3x² - 8x + 5 = 0   está expresada en forma implícita y si despejamos la variable   y   obtenemos la forma explícita.

Es decir,   y = - 3x² + 8x - 5   sería la forma explícita.

Aquí un vídeo: https://youtu.be/AKR9YaBNius